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z55250825

一只蒟蒻

 
 
 

日志

 
 

【博弈】【Anti-Sg】  

2014-03-01 19:30:36|  分类: 数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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   做完 约翰 的题之后的总结。
   http://blog.sina.com.cn/s/blog_51cea4040100h3l9.html
   关键是理解 JZH 的证明。
   游戏的证明 实际上 就是 对于必胜态 构造出一种必胜的方法,对于必败态 能够证明无论怎么做 都只能走到必胜态的局面就可以了。
   先来看看SJ定理:

    对于任意一个Anti-SG游戏,如果我们规定当局面中所有的单一游戏的SG值为0时,游戏结束。先手必胜当且仅当:(1)游戏的SG函数不为0且游戏中某个单一游戏的SG函数大于1;(2)游戏的SG函数为0且游戏中没有单一游戏的SG函数大于1.

   首先我们来看看最后一定必胜的形态,一定是 偶数个石子堆 为 1 的情况。
   这个是显然的。肯定是对手拿到最后那一颗。
   首先,这个初始状态的SG为0, 然后无一个石子堆的个数大于1,这个正是 SJ定理中第二条:

   (2)游戏的SG函数为0且游戏中没有单一游戏的SG函数大于1.

  这里是正确的,我们继续来看第一条。

   (1)游戏的SG函数不为0且游戏中某个单一游戏的SG函数大于1;

 首先游戏的SG函数不为0且某一个石子堆大于1,我们要必胜,实际上就是努力转化成 SJ定理中的第二条 的情况 。
  我们来证明这样必然进入必败状态。
 1)假设 只有一个石子堆 的石子数 大于1,且SG函数不为0
 那么假设 剩余的1的石子堆的个数为奇数的话,我们只要把这个大于1的石子堆取完即可进入必败态,而如果剩余的1的石子堆的个数为偶数的话,我们把这个大于1 的石子堆取到1也可以获胜。
 2)假设有多个石子堆的石子数大于1,且SG函数不为0.
 由于NIM游戏,我们可以通过拿去 这些 大于1的石子堆中的若干个使异或和变成 0。 
 那这样为什么是正确的呢?
 首先证明必然可以从大于1的石子堆中拿去一些石子使异或和变成0。
  这个很显然,因为它的二进制位数比1的要多,显然可以从它那里拿。

  接下来是为什么正确的。我们发现,当对手进入 这样一个状态:
 SG=0,有某一石子堆石子数 >1。
 由于SG=0,有某一堆石子石子数>1,实际上就是至少有两堆石子石子数>1
  那么根据NIM游戏,他不管怎么拿,下一回合轮到我们的时候SG值都大于0,且至少有一堆石子石子数>1,这又回到了2的情形,这样继续下去,由于石子数有限,总能够回到 1)这种状态,这样我们就赢了。

  以上是关于 必胜决策的构造。然后就是必败者必然走向必胜状态。
  第一种情况是 SG=0,且有一堆石子>1,这就是 2)里面所提到的,它必败。
  第二种情况是 SG>0,且无石子堆>1,这个就是奇数堆石子为1的,的确必败。

  然后就没有了。
 
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