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z55250825

一只蒟蒻

 
 
 

日志

 
 

【一道经常出现解答却不详细的题...】  

2014-02-27 19:22:51|  分类: 数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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   一开始在noip吧看到的,貌似以前看博弈的时候也看过,可是却没有仔细想了...发现那个分析的确不是很详细,所以自己想想然后把想法写下来。

   翻棋子游戏:
   题意:一个棋盘上每个格子有一个棋子,每次操作可以随便选一个朝上的棋子(x,y),代表第x行第y列的棋子,选择一个形
   如(x,b)或(a,y)(其中b < y,a < x)的棋子,然后把它和(x,y)一起翻转,无法操作的人输。

   实际上最后的结局就是只剩下(1,1)有个正面朝上的棋子或者没有棋子正面朝上了....
   先来考虑NIM游戏,假设NIM和是必胜态,那么就取些石子让异或和为0进入必败态即可,如果是必败态,得保证无论如何都会取到必胜态。
   我们把每一个朝上的坐标(x,y)看做两堆石子,一堆x个,一堆y个,每一次选择一个坐标(x,y)翻下去,再新选一个坐标(a,y)或者(x,b)翻过来。这里有两种情况:
  1)新选的坐标 之前是背面朝上的,这个实际上就是 把 x的石子堆 或 y的石子堆拿去一些,比如 (a,y)就是把 X个石子的石子堆变成a个石子的石子堆。
  2)新选的坐标 之前是正面朝上的,设之为 (a,y) ((x,b)的情况类似)那么我们实际上就失去了石子数为 a 的 石子数为 x 的,石子数为 y 的,石子数为 y 的石子堆,后面两个同时去掉对nim游戏的xor和无影响,相当于没去掉,关键在于前面两个,它们去掉在NIM的计算中实际上就相当于 乘以 a xor x 的石子,由于 a<x ,所以 a xor x<x,实际上这也就相当于将x个石子的石子堆变成a个石子的石子堆(X个石子的石子堆变成a个石子的石子堆,异或和的变化为 a xor x)
  所以以上两种情况下都满足NIM游戏,所以就OK了。
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